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タグ : 数学
最近の以下の日記
10/29の日記“ヨセ問題図の「差」の応用”
11/03の日記“無限小と1目のヨセ”
で「組み合わせゲーム理論」と碁の関係について説明しました。

10/29の日記で使った例は結構難しいものだし、
11/03の日記は内容自体がかなり難しいものになってしまいました。
この日記では囲碁をやっている人であればよく知っている話が
組み合わせゲーム理論における「差」＝「引き算」の応用で
どのように導かれるかを説明します。

■ヨセ問題図の「差」の方法

コウの問題を無視できるならば、
ヨセの問題図Ｘに黒が一手打った後の図Ｙと別の手を打った後の図Ｚの
優劣を以下の方法で判定できます。

1. まず、Ｙ図と白黒反転させたＺ図を合わせたＹ－Ｚ図を考える。

2. 次に、Ｙ－Ｚ図で双方が最善をつくすとき
黒先と白先の場合の結果がどうなるかを調べる。

3. 結論は次の通り。

(1) 黒先なら黒が1目以上勝ち、白先でも黒が持碁以上の結果を得られる
ならば、Ｙ－Ｚ図は黒にとって有利である。
したがって、黒はＺ図よりもＹ図を選んだ方が常に得である。

(2) 白先なら白が1目以上勝ち、黒先でも白が持碁以上の結果を得られる
ならば、Ｙ－Ｚ図は白にとって有利である。
したがって、黒はＹ図よりもＺ図を選んだ方が常に得である。

(3) 以上のふたつ以外の場合にはＹ図とＺ図の優劣はつけられない。
周囲の状況によってどちらを選ぶかを変えなければいけない。

■一線のハネツギ(出入り２目の後手ヨセ)とサガリのどちらが得か？

次のヨセ問題図Ｐについて考えましょう。

●●●●○○○○　Ｐ図
●┼┼●○┼┼○
●┴┴ＢＡ┴┴○

ヨセで黒がこの部分で打つならＡとＢのどちらが良いか？

黒がＡハネツギとした図Ａ

●●●●○○○○　Ａ図
●┼┼●○┼┼○
●┴┴●●○┴○

黒がＢとして白が手を抜いた図Ｂ

●●●●○○○○　Ｂ図
●┼┼●○┼┼○
●┴┴●┴┴┴○

正解はもちろんＡです。
しかし、黒Ｂと打っても、白Ａと受けてくれれば黒先手になるし、
白が受けなければ黒Ａの先手ヨセが残るので、損にならないのでは
ないかという疑問は残ります。

このような疑問を解決するためには、
Ａ図と白黒反転したＢ図を合わせた図(Ａ－Ｂ図の差)を考え、
黒先の結果と白先の結果がどうなるか
を調べてみれば必要十分です。

●●●●○○○○　○○○○●●●●　Ａ－Ｂ図
●┼┼●○┼┼○　○┼┼○●┼┼●
●┴┴●●○┴○　○┴┴○┴┴┴●

(1) Ａ－Ｂ図で黒先の場合(奇数が黒)

黒１　右で守り

●●●●○○○○　○○○○●●●●
●┼┼●○┼┼○　○┼┼○●┼┼●
●┴┴●●○┴○　○┴┴○◆┴┴●

黒１目勝ち。

(2) Ａ－Ｂ図で白先の場合(奇数が白)

白１　右で出
黒２　右で守り

●●●●○○○○　○○○○●●●●
●┼┼●○┼┼○　○┼┼○●┼┼●
●┴┴●●○┴○　○┴┴○◇◆┴●

持碁。

(3) 結論。Ａ－Ｂ図はサガリの白よりハネツギの黒が有利。
Ｐ図では周囲の状況によらずＡハネツギがＢサガリより有利。

この議論の(1)は白サガリは何かの拍子に黒に守られると損になるので
ダメだということを示していると解釈できます。

■カタツギとサガリとカケツギのどれが得か１

今後は次のヨセ問題図Ｑについて考えましょう。

●●●●●●○○○○○○　Ｑ図
●┼┼┼┼Ｃ●○┼┼┼○
●┴┴┴┴ＥＤ┴┴┴┴○

ヨセで黒がこの部分で打つならＣＤＥのどれが良いか？

黒Ｃカタツギの図Ｃ

●●●●●●○○○○○○　Ｃ図
●┼┼┼┼●●○┼┼┼○
●┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴○

黒がＤサガリとして白が押さえて黒ツギとなった図Ｄ

●●●●●●○○○○○○　Ｄ図
●┼┼┼┼●●○┼┼┼○
●┴┴┴┴┴●○┴┴┴○

黒がＥカケツギとした図Ｅ

●●●●●●○○○○○○　Ｅ図
●┼┼┼┼┼●○┼┼┼○
●┴┴┴┴●┴┴┴┴┴○

▲1. まずＣ－Ｄを調べましょう。

●●●●●●○○○○○○　○○○○○○●●●●●●
●┼┼┼┼●●○┼┼┼○　○┼┼┼┼○○●┼┼┼●
●┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴○　○┴┴┴┴┴○●┴┴┴●

(1) 黒先なら、黒が左でハネツギを打って黒１目勝ち。

(2) 白先なら、白が左でハネツギを打って白１目勝ち。

(3) 結論。Ｃ－Ｄ図は先手勝ち。
Ｑ図でＣカタツギとＤサガリのどちらが有利かは周囲の状況による。

実際、以下のような場合があります。

・Ｑ図以外に残っているヨセがひとつもなければ、
　黒はＤサガリを選ぶべきである。
　黒Ｃツギとすると白にハネツギの手止まりを打たれてしまう。

・Ｑ図以外に残っているヨセがＰ図しかなければ、
　黒はＣツギを選ぶべきである。
　黒Ｄサガリとすると白にＤの右のオサエを先手で打たれてしまい、
　Ｐ図のハネツギの手止まりにまわられてしまいます。

まあ半目勝負になる場合はほとんどないので
この違いは非常に小さいと考えられるのですが。

▲2. Ｃ－Ｅを調べましょう。

●●●●●●○○○○○○　○○○○○○●●●●●●
●┼┼┼┼●●○┼┼┼○　○┼┼┼┼┼○●┼┼┼●
●┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴○　○┴┴┴┴○┴┴┴┴┴●

(1) 黒先の場合

黒が左でハネツギ、白が右でハネツギとなるなら、持碁。
黒が右でサガリ、白が左でハネツギ、黒が右でアテ、白ツギなら、持碁。

(2) 白先の場合

白が左でハネツギ、黒が右でサガリ、白右で一線ツギなら、白１目勝ち。

(3) 結論。Ｃ－Ｅ図ではカケツイだ白の側が有利。
Ｑ図で黒はＣのカタツギよりＥのカケツギを選んだ方が有利。

ただし、これは本当にミクロの話で
コウ材の問題を無視していることに注意して下さい。

▲3. 最後にＤ－Ｅを調べましょう。

●●●●●●○○○○○○　○○○○○○●●●●●●
●┼┼┼┼●●○┼┼┼○　○┼┼┼┼┼○●┼┼┼●
●┴┴┴┴┴●○┴┴┴○　○┴┴┴┴○┴┴┴┴┴●

(1) 黒先なら、黒が右でサガリ、白一線ツギで、持碁。

(2) 白先なら、白が右でハネツイで、白１目勝ち。

(3) 結論。Ｄ－Ｅ図ではサガった黒よりもカケツイだ白の側が有利。
Ｑ図で黒はＤのサガリよりＥのカケツギを選んだ方が有利。

ただし、繰り返しになりますが、これは本当にミクロの話で
コウ材の問題を無視しているので本当に要注意だと思います。

■カタツギとサガリとカケツギのどれが得か２

今後は次のヨセ問題図Ｒについて考えましょう。

●●●●●●○○○○○○　Ｒ図
●┼┼┼┼Ｆ●○┼┼┼○
●┴┴┴┴┴Ｇ┴○┴┴○

このＲ図は上のＱ図と微妙に違うことに注意して下さい。
ヨセで黒がこの部分で打つならＦＧのどちらが良いか？
(カケツギ(Ｆの下、Ｇの左)はコウがからむのでここでは扱わない。)

黒Ｆカタツギの図Ｆ

●●●●●●○○○○○○　Ｆ図
●┼┼┼┼●●○┼┼┼○
●┴┴┴┴┴┴┴○┴┴○

黒がＧサガリとして白が押さえて黒ツギとなった図Ｇ

●●●●●●○○○○○○　Ｇ図
●┼┼┼┼●●○┼┼┼○
●┴┴┴┴┴●○○┴┴○

ツギのＦ－Ｇ図について調べましょう。

●●●●●●○○○○○○　○○○○○○●●●●●●
●┼┼┼┼●●○┼┼┼○　○┼┼┼┼○○●┼┼┼●
●┴┴┴┴┴┴┴○┴┴○　○┴┴┴┴┴○●●┴┴●

(1) 黒先なら、黒が左でサガリを打って持碁。

(2) 白先なら、白が左でハネツギを打って白１目勝ち。

(3) 結論。Ｆ－Ｇ図では最初に下がりを打った白が有利。
Ｒ図ではＦカタツギよりＧサガリを選んだ方が有利。

Ｑ図ではカタツギとサガリの優劣がつかなかったのですが、
Ｒ図でははっきりサガリの方が有利になっています。
ほんのちょっとした図の違いで結果が変わるので注意が必要です。

■ヨセ問題図の「差」の活用

以上のようにヨセ問題図の「差」を考えて、
その図において黒先と白先の場合にどうなるかを考えることは
微妙なヨセの問題への理解を深めるために役に立つと思います。

もとの図(Ｐ図やＱ図)を眺めているだけでは分からないことが、
Ａ－Ｂ図、Ｃ－Ｄ図、Ｃ－Ｅ図、Ｄ－Ｅ図の上で
実際に石を戦わせてみると分かります。

すでに十分理解しているつもりだった単純なヨセであっても
色々発見があるかもしれないので、今後も色々試してみることにします。

プロの実戦譜でコウがからんでいないのに難しい小ヨセが延々と続くもの
があれば、研究してみたいと思っているのですが、まだ探していません。

以上です。