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タグ : 数学
強い人たち(特にプロ)の棋譜を並べると、
単に利益を確定するための大きな手よりも
「次に大きな手があるぞ」というタイプの手
すなわち「脅しの手」を優先する傾向があると思います。
この日記ではその理由を簡単なヨセの問題を例に考えることにします。

■先手ヨセについて復習

○○○○○○○○○●　Ｓ図(外側の石は活石)
○●●●●●Ｂ●Ａ●
○○○○○○○○○●

これは典型的な黒からの(片)先手のヨセを説明するために用意した図です。
実戦的な形は計算が難しくなるのでこのような図にしました。

黒Ａの後続の手黒Ｂは見合い5目(出入り10目)の後手ヨセになっています。
だから局面のＳ図以外の残りの部分に見合い5目未満(出入り10目未満)の
後手ヨセ相当の手しか残っていなければ、
黒Ａとすれば白はＢと応じなければいけなくなり、黒の先手になります。
そのとき、黒Ａ、白Ｂとなった場合(白地10目)と白Ａ(白地13目)の比較で、
黒Ａは出入り３目の片先手のヨセになります。

注意しなければいけないことは、
Ｓ図以外の残りの部分に見合い5目超(出入り10目超)の
後手ヨセ相当の手が残っていれば、黒Ａが先手にならないことです。

黒Ａの後手ヨセとしての大きさは、
黒Ａ(Ｂの権利を折半して白地5目)と白Ａ(白地13目)の比較で
見合い4目(出入り8目)になります。
だから、白は、残りの部分に見合い4目以下(出入り8目以下)の後手ヨセ相当
の手しか残っていない状況になるまで、Ａに打ちません。
一方、黒は、残りの部分に見合い5目以下(出入り10目以下)の後手ヨセ相当
の手しか残っていない状況になるまで、Ａに打ちません。
このことから、黒がＡに打てる可能性は白よりも高いということになります。

よくあるヨセの解説では以上の説明を省略して
「黒Ａは先手ヨセであり、Ａの権利は黒の側にある」
などと説明されます。しかし、それを「うのみ」してしまうと、
実戦で白Ａと自然な手順で逆ヨセを打たれてしまったときに
「うぎゃ！」となってしまうわけです。

片先手ヨセの正体は
「その手自身よりも大きな後続の手を持つヨセの手」です。
後続の手段の大きさが「脅し」として通用する状況では
実際に先手ヨセになるわけです。

以上が(片)先手ヨセの基本です。

■先手ヨセになるかどうかの境目でどうするべきか

○○○○○○○○○●　再掲Ｓ図(外側の石は活石)
○●●●●●Ｂ●Ａ●
○○○○○○○○○●

黒Ａが先手ヨセになるために必要十分条件は
Ｓ図以外の残りの部分に見合い5目未満(出入り10目未満)の後手ヨセ相当の手
しかなくなることです。

それではＳ図以外の残りの部分に
見合い5目ぴったり(出入り10目ぴったり)の後手ヨセ、たとえば

○○○○○○○●　Ｇ図(外側の石は活石)
○●●●●●Ｃ●
○○○○○○○●

のような後手ヨセが残っているとき、
黒はＳ図のヨセとＧ図のヨセをどちらを優先するべきなのでしょうか？

解答。Ｓ図とＧ図以外の残りの部分のヨセがどのような形になっていても、
黒はＧ図のＣよりもＳ図のＡに優先して打つべきである。

この結果はヨセの問題図の「差」の方法(組み合わせゲーム理論の方法)を
使えば証明できます。(注意：コウの問題は無視した。)

■図の「差」を用いた証明

次の４つの図を合わせた状況を考えます。
黒ＡとしたＳ図、Ｇ図、白黒反転したＳ図、白黒反転した黒ＣとしたＧ図。

○○○○○○○○○●　　○○○○○○○●
○●●●●●Ｂ●●●　　○●●●●●Ｃ●
○○○○○○○○○●　　○○○○○○○●

●●●●●●●●●○　　●●●●●●●○
●○○○○○ｂ○ａ○　　●○○○○○○○
●●●●●●●●●○　　●●●●●●●○

この図が黒有利ならばＳ＋Ｇ図で黒はＣよりもＡを優先するべきだし、
この図が白有利ならばＳ＋Ｇ図で黒はＡよりもＣを優先するべきだと
いうことになります。

しかも残ったヨセが組み合わせゲーム理論にのるような形になっていれば、
Ｓ＋Ｇ図以外の残りの部分がどうなっていてもこの結論は正しいということ
になります。(ここが数学的議論のすごいところ。ある種のマジック！)

ＢとＣが見合いになっているので、←ここ重要
実質的にａ、ｂの部分だけが問題になる。

(1) 黒先の場合

黒１　ａ
白２　Ｂ
黒３　Ｃ

○○○○○○○○○●　　○○○○○○○●
○┼┼┼┼┼◇●●●　　○●●●●●◆●
○○○○○○○○○●　　○○○○○○○●

●●●●●●●●●○　　●●●●●●●○
●○○○○○┼○◆○　　●○○○○○○○
●●●●●●●●●○　　●●●●●●●○

アゲハマ：黒石５

黒地13目、白地10目、黒3目勝ち。

(2) 白先の場合

白１　ａ
黒２　ｂ
白３　Ｂ
黒４　Ｃ

○○○○○○○○○●　　○○○○○○○●
○┼┼┼┼┼◇●●●　　○●●●●●◆●
○○○○○○○○○●　　○○○○○○○●

●●●●●●●●●○　　●●●●●●●○
●┼┼┼┼┼◆○◇○　　●○○○○○○○
●●●●●●●●●○　　●●●●●●●○

アゲハマ：黒石５、白石５

持碁。

(3) 結論。黒先なら黒3目勝ち、白先でも持碁。黒有利である。
したがって、Ｓ＋Ｇ図では黒はＣよりもＡを優先するべきである。すなわち、
黒はＡの「脅しの手」をＣの「利益確定の手」よりも優先するべきである。

■見合いの考え方

Ｓ＋Ｇ図 (外側の石は活石)
○○○○○○○○○●　　○○○○○○○●
○●●●●●Ｂ●Ａ●　　○●●●●●Ｃ●
○○○○○○○○○●　　○○○○○○○●

黒がこの部分に打つならばＣよりもＡに打った方が得である理由を
別の方法で説明しましょう。

黒ＣとしたＳ＋Ｇ図 (外側の石は活石)
○○○○○○○○○●　　○○○○○○○●
○●●●●●Ｂ●Ａ●　　○●●●●●◆●
○○○○○○○○○●　　○○○○○○○●

この図でヨセが残っているのは左半分だけです。
通常この左半分で「黒Ａは先手ヨセであり、黒の権利」とみなされます。
しかし現実には白Ａの逆ヨセを打たれてしまう可能性が残っているわけです。
実際にそうなってしまうと次の黒ＡとしたＳ＋Ｇ図より損をしてしまいます。

黒ＡとしたＳ＋Ｇ図 (外側の石は活石)
○○○○○○○○○●　　○○○○○○○●
○●●●●●Ｂ●◆●　　○●●●●●Ｃ●
○○○○○○○○○●　　○○○○○○○●

この図でＢとＣは見合いの関係になっています。←ここ重要！
だから黒ＡとしたＳ＋Ｇ図では白地10目が確定していると考えられます。
黒ＣとしたＳ＋Ｇ図では白地が13目になる可能性があるので、
黒ＡとしたＳ＋Ｇ図と比較すれば３目損をする可能性が
残ってしまうわけです。

Ｓ＋Ｇ図に黒が打つならばＣではなくＡにするべきです。

■一般化

再掲Ｓ＋Ｇ図 (外側の石は活石)
○○○○○○○○○●　　○○○○○○○●
○●●●●●Ｂ●Ａ●　　○●●●●●Ｃ●
○○○○○○○○○●　　○○○○○○○●

Ｓ＋Ｇ図ような状況を「組み合わせゲーム理論」では
よく次のような樹形図(tree)で表わします。

　　　　　　　・　　　　　　　　・　　　
　　　　　Ａ／　＼Ａ　　　　Ｃ／　＼Ｃ　
　　　　　／　　　＼　　　　／　　　＼　
　　　　・　　　　－10　　０　　　　－10
　　Ｂ／　＼Ｂ　　　　　　　　　　　　　
　　／　　　＼　　　　　　　　　　　　　
　０　　　　－13　　　　　　　　　　　　

ここで、／は黒の着手を表わし、＼は白の着手をを表わしています。
左がＳ図の部分、右がＧ図の部分を表現しています。
数字は確定した黒地－白地の値を表わしています。

前節の結論は次の樹形図で表わされるような状況であれば
いつでも成立しています。

　　　　　　　・　　　　　　　　　・　　　　
　　　　　Ａ／　＼Ａ　　　　　Ｃ／　＼Ｃ　　
　　　　　／　　　＼　　　　　／　　　＼　　
　　　　・　　　ｚ－ａ－ｂ　ｗ　　　　ｗ－ａ
　　Ｂ／　＼Ｂ　　　　　　　　　　　　　　　
　　／　　　＼　　　　　　　　　　　　　　　
　ｚ　　　　ｚ－ａ　　　　　　　　　　　　　

ここでａとｂは正の数でｂはａよりずっと小さい(２ｂ＜ａ)とします。
ｚとｗは単に原点をずらすだけなのでどんな数でも構いません。
Ｓ＋Ｇ図の場合にはａ＝10、ｂ＝３、ｚ＝ｗ＝０です。

別の言い方をすると次のようになります。

黒がヨセの手として黒Ａと黒Ｃの選択に悩んでいるとします。
黒Ｃは一手で地が確定する後手ヨセ(利益確定)で、
黒Ａはそれ自身は小さいヨセだが、
黒Ｃと同じ大きさの後続のヨセ黒Ｂ(同じ大きさの脅し)を持ちます。
このとき黒は黒Ｃより黒Ａを選んだ方が得である。

要するに「利益確定よりも同じ大きさの脅しを優先せよ！」ということです。

以上です。